نکات مهم در نوسان

در پایان این بخش شما قادر خواهید بود:

• توصیف یک نوسان ساز هارمونیک ساده است.
• ارتباط بین حرکت هارمونیک ساده و امواج را توضیح دهید.

نوسانات سیستمی که نیروی خالص را می توان با قانون هوک توصیف کرد از اهمیت ویژه ای برخوردار است زیرا بسیار رایج است. این سیستم ها همچنین ساده ترین سیستم های نوسانی هستند. حرکت هارمونیک ساده نامی است که به حرکت نوسانی برای سیستمی گفته می شود که نیروی خالص را می توان با قانون هوک توصیف کرد و چنین سیستمی را نوسان ساز هارمونیک ساده می نامند . اگر نیروی خالص را می توان با قانون هوک توصیف کرد و هیچ میرایی وجود ندارد (توسط اصطکاک یا سایر نیروهای غیر محافظه کار), سپس یک نوسان ساز هارمونیک ساده با جابجایی برابر در دو طرف موقعیت تعادل نوسان می کند, همانطور که برای یک جسم در فنر در شکل نشان داده شده است 1. حداکثر جابجایی از تعادل دامنه نامیده می شود ایکس . واحدهای دامنه و جابجایی یکسان هستند اما به نوع نوسان بستگی دارند. برای جسم روی فنر واحدهای دامنه و جابجایی متر هستند; در حالی که برای نوسانات صدا واحدهای فشار دارند (و انواع دیگر نوسانات هنوز واحدهای دیگری دارند). زیرا دامنه حداکثر جابجایی است و به انرژی موجود در نوسان مربوط می شود.

شکل 1. یک شی متصل به فنری که روی سطح بدون اصطکاک می لغزد یک نوسان ساز هارمونیک ساده بدون عارضه است. جسم هنگام جابجایی از تعادل حرکت هارمونیک ساده ای را انجام می دهد که دارای دامنه است ایکس و یک دوره تی . حداکثر سرعت جسم هنگام عبور از تعادل اتفاق می افتد. سخت تر بهار است, کوچکتر از دوره تی . هرچه جرم جسم بیشتر باشد دوره تی بیشتر است .

تجربه خانه: اشم و سنگ مرمر

یک کاسه یا حوضچه پیدا کنید که از داخل به شکل نیمکره باشد. یک سنگ مرمر داخل کاسه قرار دهید و کاسه را به صورت دوره ای کج کنید تا سنگ مرمر از ته کاسه بغلتد و به نقاط به همان اندازه بلند در کناره های کاسه برسد. نیروی لازم برای حفظ این حرکت دوره ای را احساس کنید. نیروی بازگرداندن چیست و چه نقشی نیروی شما اعمال بازی در حرکت هارمونیک ساده (اهم) از سنگ مرمر?

چه شده است تا در مورد حرکت هارمونیک ساده قابل توجه? یک چیز خاص این است که دوره تی و فرکانس اف از یک اسیلاتور هارمونیک ساده مستقل از دامنه هستند. به عنوان مثال سیم یک گیتار با همان فرکانس چه به نرمی و چه سخت کنده می شود نوسان می کند. زیرا دوره ثابت است می توان از یک نوسان ساز هارمونیک ساده به عنوان ساعت استفاده کرد.

دو عامل مهم بر دوره یک اسیلاتور هارمونیک ساده تاثیر می گذارد. دوره مربوط به سختی سیستم است. یک جسم بسیار سفت دارای یک ثابت نیروی زیاد است ک که باعث می شود سیستم دوره کمتری داشته باشد. به عنوان مثال می توانید سفتی تخته غواصی را تنظیم کنید—هرچه سفت تر باشد سریعتر ارتعاش می کند و دوره اش کوتاه تر است. دوره نیز به جرم سیستم نوسان بستگی دارد. عظیم تر سیستم است, دیگر دوره. مثلا یک فرد سنگین روی تخته غواصی کندتر از یک فرد سبک به بالا و پایین می پرد.

در واقع جرم متر و ثابت نیرو ک تنها عواملی هستند که بر دوره و فرکانس حرکت هارمونیک ساده تاثیر می گذارند.

دوره نوسان ساز هارمونیک ساده

دوره یک نوسان ساز هارمونیک ساده توسط

و, زیرا [لاتکس]اف=\فراک\\ \ [/لاتکس], فرکانس یک نوسان ساز هارمونیک ساده است

توجه داشته باشید که نه تی و نه اف هیچ وابستگی به دامنه ندارند.

تجربه خانه: نوسانات جرم و حاکم

دو خط کش چوبی یا پلاستیکی یکسان پیدا کنید. یک سر هر خط کش را محکم به لبه میز بچسبانید تا طول هر خط کش که از میز بیرون زده یکسان باشد. در پایان رایگان از یک نوار خط کش یک شی سنگین مانند چند سکه های بزرگ. انتهای خط کش ها را همزمان بچینید و مشاهده کنید که کدام یک در یک دوره زمانی چرخه بیشتری را پشت سر می گذارد و دوره نوسان هر یک از خط کش ها را اندازه گیری کنید.

مثال 1. فرکانس و دوره نوسانات را محاسبه کنید: کمک فنرهای بد در خودرو

اگر کمک فنرها در اتومبیل خراب شوند, سپس ماشین با حداقل تحریک مانند هنگام عبور از دست اندازها در جاده و پس از توقف نوسان می کند (شکل 2 را ببینید). فرکانس و دوره این نوسانات را برای چنین خودرویی محاسبه کنید اگر جرم خودرو (با احتساب بار) 900 کیلوگرم و ثابت نیرو ( ک ) سیستم تعلیق 6.53 × 10 4 نیوتن بر متر باشد.

شکل 2. ماشین تندرست حرکتی موج مانند ایجاد می کند. اگر نیروی بازگرداندن در سیستم تعلیق را می توان تنها با قانون هوک توصیف, سپس موج یک تابع سینوسی است. (موج اثری است که با حرکت خودرو به سمت راست توسط چراغ جلو تولید می شود.)

استراتژی

فرکانس نوسانات خودرو خواهد بود که از یک نوسان ساز هارمونیک ساده همانطور که در معادله داده [لاتکس] اف=\فراک<2\pi>\sqrt>\\[/لاتکس]. جرم و ثابت نیرو هر دو داده می شوند.

راه حل

مقادیر شناخته شده را وارد کنید ک و م :

فرکانس را محاسبه کنید:

You could use [latex]T=2\pi\sqrt>\\[/لاتکس] برای محاسبه دوره, اما ساده تر است به استفاده از رابطه [لاتکس]تی=\فراک\\[/لاتکس] و جایگزین ارزش فقط برای اف پیدا شده است :

بحث و گفتگو

ارزش تی و اف هر دو در مورد حق برای یک ماشین تندرست به نظر می رسد. شما می توانید این نوسانات مشاهده اگر شما فشار پایین سخت در پایان یک ماشین و اجازه رفتن.

ارتباط بین حرکت هارمونیک ساده و امواج

شکل 3. موقعیت عمودی جسمی که روی فنر می پرد بر روی نواری از کاغذ متحرک ثبت می شود و موج سینوسی بر جای می گذارد.

اگر یک عکس زمان قرار گرفتن در معرض ماشین تندرست گرفته شد به عنوان سوار توسط, چراغ جلو یک رگه موج را, همانطور که در شکل نشان داده شده است 2. به طور مشابه, شکل 3 نشان می دهد یک شی تندرست در بهار به عنوان برگ "اثری از موقعیت خود را بر روی یک نوار در حال حرکت از کاغذ. هر دو موج توابع سینوسی هستند. تمام حرکت هارمونیک ساده ارتباط تنگاتنگی با امواج سینوسی و کسینوسی دارد.

جابجایی به عنوان تابعی از زمان تی در هر حرکت هارمونیک ساده—یعنی حرکتی که نیروی بازیابی خالص را می توان با قانون هوک توصیف کرد توسط

جایی که ایکس دامنه است. در تی = 0 موقعیت اولیه است ایکس₀= ایکس و جابجایی با یک دوره به جلو و عقب نوسان می کند تی . (وقتی تی = تی, ما ایکس = ایکس دوباره به دلیل چون 2π = 1.). بعلاوه, از این عبارت برای ایکس, سرعت پنجم به عنوان تابعی از زمان توسط داده می شود

جسم در حداکثر جابجایی سرعت صفر دارد-به عنوان مثال پنجم =0 وقتی تی =0 و در این زمان ایکس = ایکس . علامت منفی در معادله اول برای پنجم (تی ) جهت صحیح سرعت را می دهد. به عنوان مثال پس از شروع حرکت سرعت منفی است زیرا سیستم به سمت نقطه تعادل حرکت می کند. در نهایت می توانیم با استفاده از قانون دوم نیوتن عبارتی برای شتاب دریافت کنیم. [سپس داریم ایکس ( تی ), و ( تی), تی, و الف ( تی), مقادیر مورد نیاز برای سینماتیک و توصیف حرکت هارمونیک ساده. با توجه به قانون دوم نیوتن, شتاب است [لاتکس]=\کسر=\فراک\\[/لاتکس] . بنابراین یک (تی ) نیز یک تابع کسینوس است:

از این رو الف ( تی ) مستقیما با الف ( تی) متناسب و در جهت مخالف است.

شکل 4 حرکت هارمونیک ساده یک جسم را روی فنر نشان می دهد و نمودارهای ایکس ( تی ), و ( تی ), و یک ( تی ) در مقابل زمان.

شکل 4. نمودار و در مقابل تی برای حرکت یک شی در بهار. نیروی خالص روی جسم را می توان با قانون هوک توصیف کرد و بنابراین جسم تحت حرکت هارمونیک ساده قرار می گیرد. توجه داشته باشید که موقعیت اولیه در حداکثر مقدار خود دارای جابجایی عمودی است ایکس ; پنجم در ابتدا صفر و سپس منفی است همانطور که جسم به سمت پایین حرکت می کند; و شتاب اولیه منفی است, برگشت به سمت موقعیت تعادل و در همان نقطه صفر می شود.

مهمترین نکته در اینجا این است که این معادلات از نظر ریاضی ساده هستند و برای همه حرکت هارمونیک ساده معتبر هستند. اینها در تجسم امواج مرتبط با حرکت هارمونیک ساده از جمله تجسم چگونگی افزودن امواج به یکدیگر بسیار مفید هستند.

درک خود را بررسی کنید

بخش 1

فرض کنید یک رشته بانجو می کشید. شما یک یادداشت را می شنوید که با صدای بلند شروع می شود و به مرور زمان ساکت می شود. توصیف چه اتفاقی می افتد به امواج صوتی از نظر دوره, فرکانس و دامنه به عنوان صدا در حجم کاهش می یابد.

راه حل

فرکانس و دوره اساسا بدون تغییر باقی می ماند. فقط با کاهش حجم دامنه کاهش می یابد.

بخش 2

یک پرستار کودک کودک را روی تاب هل می دهد. در نقطه ای که نوسان می رسد ایکس , نقطه مربوطه در موجی از این حرکت کجا قرار خواهد گرفت?

راه حل

ایکس حداکثر تغییر شکل است که مربوط به دامنه موج است. نقطه موج یا در بالا یا پایین منحنی خواهد بود.

اکتشافات فت: توده ها و چشمه ها

یک لابراتوار توده ای و بهار واقع بینانه. قطع توده ها از چشمه ها و تنظیم سختی بهار و میرایی. حتی می توانید زمان را کند کنید. لابراتوار را به سیارات مختلف منتقل کنید. نمودار جنبشی پتانسیل و انرژی حرارتی برای هر بهار را نشان می دهد.

برای اجرای شبیه سازی کلیک کنید.

راه حل های انتخاب شده

• حرکت هارمونیک ساده حرکت نوسانی برای سیستمی است که فقط با قانون هوک قابل توصیف است. چنین سیستمی نیز یک نوسان ساز هارمونیک ساده نامیده می شود.
• Maximum displacement is the amplitude X . The period T and frequency f of a simple harmonic oscillator are given by [latex]T=2\pi\sqrt>\\[/لاتکس] و [لاتکس]اف=\فراک<2\pi >البرز<\frac>\\[/لاتکس] , جایی که متر جرم سیستم است.
• جابجایی در حرکت هارمونیک ساده به عنوان تابعی از زمان توسط [لاتکس] داده می شود ایکس\چپ (تی\راست)=ایکس\متن\کسری<2\pi>\\[/لاتکس].
• The velocity is given by [latex]v\left(t\right)=-_>\متن\فراک<2\pi>\\[/latex], where [latex]_>= \مربع<\frac>ایکس\\[/لاتکس].
• شتاب یافت می شود [لاتکس] (تی)= - \فراک\چون\کسر<2\pi>\\[/لاتکس].

سوالات مفهومی

1. چه شرایطی باید رعایت شود برای تولید حرکت هارمونیک ساده?
2. (یک) اگر فرکانس است برای برخی از نوسان ثابت نیست, می توانید نوسان باشد حرکت هارمونیک ساده? (ب) شما می توانید از هر نمونه ای از حرکت هارمونیک که فرکانس ممکن است در دامنه بستگی دارد فکر می کنم?
3. یک مثال از یک نوسان ساز هارمونیک ساده, به طور خاص با توجه به اینکه چگونه فرکانس خود را مستقل از دامنه است.
4. توضیح دهید که چرا انتظار دارید یک جسم ساخته شده از یک ماده سفت با فرکانس بالاتر از یک جسم مشابه ساخته شده از یک ماده اسفنجی ارتعاش کند.
5. همانطور که شما عبور یک کامیون حمل و نقل با یک تریلر در بزرگراه, شما متوجه است که تریلر خود را تندرست بالا و پایین کند. بیشتر احتمال دارد که تریلر به شدت لود شده و یا تقریبا خالی? پاسخ خود را توضیح دهید.
6. برخی از افراد خودروها را بسیار نزدیکتر از زمان تولید به زمین تغییر می دهند. باید نصب چشمه سخت? پاسخ خود را توضیح دهید.

مشکلات و تمرینات

1. نوع ساعت فاخته زمان با داشتن توده تندرست در بهار معمولا چیزی زیبا مانند کروب در یک صندلی نگه می دارد. چه نیروی ثابت مورد نیاز است برای تولید یک دوره 0.500 ثانیه برای یک جرم 0.0150 کیلوگرم?
2. اگر ثابت بهار از یک نوسان ساز هارمونیک ساده دو برابر شده است, با چه عاملی خواهد جرم سیستم نیاز به تغییر در جهت فرکانس حرکت باقی می ماند همان?
3. یک جرم 0.500 کیلوگرمی معلق از یک فنر با یک دوره نوسان می کند 1.50 ثانیه چقدر جرم باید به جسم اضافه شود تا دوره را به 2.00 ثانیه تغییر دهد?
4. توسط چقدر راه گریز (هر دو درصد و جرم) شما را در انتخاب از جرم جسم در مشکل قبلی اگر شما نمی دوره جدید می شود بیشتر از 2.01 بازدید کنندگان و یا کمتر از 1.99 بازدید کنندگان?
5. فرض کنید جسم را با جرم وصل می کنید متر در اصل در حالت استراحت به یک فنر عمودی وصل کنید و بگذارید بالا و پایین بپرد. شما جسم را از استراحت در طول استراحت اصلی فنر رها می کنید. (الف) نشان دهید که فنر در پایین ترین نقطه خود نیروی رو به بالا 2.00 میلی گرم بر روی جسم وارد می کند. (ب) اگر فنر دارای ثابت نیرو 10.0 نانومتر بر متر باشد و یک جسم با جرم 0.25 کیلوگرم همانطور که توضیح داده شد حرکت کند, دامنه نوسانات را پیدا کنید. (ج) حداکثر سرعت را پیدا کنید.
6. یک غواص روی تخته غواصی در حال حرکت هارمونیک ساده است. جرم او 55.0 کیلوگرم و دوره حرکت او 0.800 ثانیه است. غواص بعدی مردی است که دوره نوسان هارمونیک ساده 1.05 ثانیه است. جرم او چیست اگر جرم تخته ناچیز باشد?
7. فرض کنید یک تخته غواصی که هیچ کس روی خود ندارد با یک حرکت هارمونیک ساده با فرکانس 4.00 هرتز به بالا و پایین می پرد. تخته دارای جرم موثر 10.0 کیلوگرم است. فرکانس حرکت هارمونیک ساده یک غواص 75.0 کیلوگرمی روی تخته چقدر است?
8. این دستگاه در شکل 6 نوزادان را سرگرم می کند و در عین حال از سرگردانی جلوگیری می کند. کودک در یک مهار معلق از یک قاب درب توسط یک ثابت بهار پرش می کند.

شکل 6. اسباب بازی این کودک برای سرگرمی نوزادان به فنرها متکی است. (اعتبار: توسط هامبولدهد, فلیکر)

شکل 7. نوسانات یک چترباز در شرف تحت تاثیر چترباز دوم است. (اعتبار: ارتش ایالات متحده, www. army. mil)

واژه نامه

دامنه: حداکثر جابجایی از موقعیت تعادل جسمی که در اطراف موقعیت تعادل در حال نوسان است

حرکت هارمونیک ساده: حرکت نوسانی در سیستمی که نیروی خالص را می توان با قانون هوک توصیف کرد

نوسان ساز هارمونیک ساده: دستگاهی که قانون هوک را مانند جرمی که به فنر متصل است اجرا می کند و انتهای دیگر فنر به یک تکیه گاه سفت و سخت مانند دیوار متصل می شود